συντεταγμένες

Ο όρος χρησιμοποιείται, ιδιαίτερα, στην αναλυτική γεωμετρία. Έστω x’Ox μια ευθεία, όπου Ο ένα δεδομένο σημείο της (Σχ. 1), θετική φορά πάνω σ’ αυτή η φορά προς το x, και Θ ένα σημείο ως παράσταση του αριθμού 1· η ευθεία x’Ox ονομάζεται προσανατολισμένος άξονας. Αν Ρ είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του άξονα χ’Οχ, τότε μπορούμε v’ αντιστοιχίσουμε σ’ αυτόν τον αριθμό (λόγο): = x του προσανατολισμένου τμήματος προς το προσανατολισμένο τμήμα (με τη «σύμβαση» να τον προσημαίνουμε με + αν το Ρ είναι προς το μέρος του x ως προς το Ο και με το – αν το Ρ είναι προς το μέρος του x’ ως προς το Ο). Αυτός ο x λέμε ότι είναι η καρτεσιανή σ. του σημείου Μ πάνω στον άξονα x’Ox. Αν χ είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ακριβώς ένα σημείο, Ρ, στον άξονα x’Ox, ώστε να είναι = x («αξίωμα της αναλυτικής γεωμετρίας»). Αν στο επίπεδο θεωρήσουμε δυο προσανατολισμένους άξονες x’Ox, y’Oy (Σχ. 2, 3) κι ένα σημείο, Ρ, του επίπεδου, τότε οι απ’ αυτό παράλληλοι των αξόνων ορίζουν ένα σημείο, Π, στον x’x κι ένα Κ στον y’y. Έστω x η σ. του Μ πάνω στον άξονα x και y η σ. του πάνω στον άξονα y· οι αριθμοί x, y λέμε ότι είναι οι σ. του Μ ως προς το σύστημα αναφοράς xOy η x λέμε ότι είναι η πρώτη και η y η δεύτερη σ. του Μ. Το Μ παρασταίνεται με το διατεταγμένο ζεύγος (x, y). Αντίστροφα, αν (x, y) είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών και θεωρήσουμε το σύστημα αναφοράς xOy, τότε ορίζεται ένα (μοναδικό) σημείο, Π, στον άξονα Ox και ένα (μοναδικό) σημείο, Κ, στον άξονα Oy με σ. τους στους άξονες Ox, Oy τους αριθμούς x αντίστοιχα y. Οι παράλληλες προς τους άξονες από τα σημεία Π, Κ ορίζουν ένα (μοναδικό) σημείο Μ στο επίπεδο xOy. Ώστε (με βάση τα προηγούμενα) και σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x, y) αντιστοιχεί ένα μοναδικό σημείο, Μ, στο επίπεδο xOy. Στον τριδιάστατο χώρο (Σχ. 3) μπορούμε να ορίσουμε ένα τριαξονικό σύστημα αναφοράς Oxyz και να κάνουμε ανάλογες παρατηρήσεις. Έτσι κάθε σημείο, Μ, του χώρου μπορεί, ως προς το σύστημα αναφοράς Oxyz, να παρασταθεί με μια «διατεταγμένη τριάδα» (x, y, z) και αντίστροφα. Εκτός από το προηγούμενο σύστημα καρτεσιανών σ. (τόσο στο επίπεδο, όσο και στον τριδιάστατο χώρο) χρησιμοποιούνται και άλλα «συστήματα» σ., ιδιαίτερα οι πολικές σ. στο επίπεδο και οι κυλινδρικές στο χώρο. Οι πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο. Ορίζουμε στο επίπεδο ένα σημείο Ο («πόλος») κι έναν άξονα x, από το Ο («πολικός άξονας», Σχ. 3). Κάθε σημείο Ρ στο επίπεδο, διαφορετικό από το Ο, μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα διατεταγμένο ζεύγος (ρ, θ), όπου ρ είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος OP, p > 0, και θ το μέτρο της α’ θετικής γωνίας xOP, (έχουμε ορίσει προηγουμένως ως θετική φορά περιστροφής στο επίπεδο την αντίθετη από την κίνηση των δεικτών του ρολογιού)· είναι, συνεπώς 0 ≤ θ < 2π. Για το Ο, ειδικά, είναι ρ = 0, αλλά δεν ορίζεται θ. Ο αριθμός ρ ονομάζεται και η πολική ακτίνα του σημείου Ρ και ο θ η πολική του γωνία. Η μετάβαση από τις πολικές στις καρτεσιανές σ. του Ρ γίνεται με τους τύπους: x = ρσυνθ, y = ρημθ, 0 < θ < 2π, ρ > 0. Οι κυλινδρικές συντεταγμένες στο χώρο. Ας θεωρήσουμε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς Oxyz στο χώρο (Σχ. 4) και στο επίπεδο xy ας λάβουμε τον άξονα x για πολικό άξονα. Τότε κάθε σημείο, έστω Ρ, του χώρου (διαφορετικό από το Ο) μπορεί να χαρακτηριστεί από μια διατεταγμένη τριάδα (ρ, θ, z,), όπου ρ, Φ οι πολικές σ. της προβολής P’ του Ρ στο επίπεδο xy και z η τρίτη καρτεσιανή σ. του Ρ· οι αριθμοί ρ, Φ, z λέμε ότι είναι οι κυλινδρικές σ. του σημείου P. H μετάβαση από τις κυλινδρικές στις καρτεσιανές σ. (και αντίστροφα) γίνεται με τους τύπους: x = ρσυνθ, y = ρημθ, z = z, 0 ≤ θ < 2π, ρ > 0. Οι πολικές συντεταγμένες στον χώρο. Για να τοποθετήσουμε στον χώρο τις πολικές σ. (Σχ. 5) ορίζουμε ένα σημείο Ο (πόλος), μία ημιευθεία r διερχόμενη δια του Ο (πολικός άξονας), ένα ημιεπίπεδο α διερχόμενο δια της r (πολικό ημιεπίπεδο), τη μονάδα μέτρησης και τέλος τη θετική φορά περιστροφής ως προς το σύνολο των επίπεδων των διερχόμενων δια της r. Κατά συνέπεια, κάθε σημείο Ρ του χώρου ορίζεται από τα εξής τρία στοιχεία (πολικές σ. του σημείου Ρ): α) από το μέτρο ρ της ευθείας OP (επιβατική ακτίνα)· β) από τη θετική τιμή της φ της κυρτής γωνίας, που η ημιευθεία r σχηματίζει με την ημιευθεία OP (ζενιθιακή απόσταση)· γ) από την τιμή της γωνίας θ που το ημιεπίπεδο α σχηματίζει κατά τη θετική φορά με το ημιεπίπεδο το οριζόμενο από το Ρ και από τον άξονα z (αζιμούθιο). Έτσι, σε κάθε σημείο Ρ του χώρου αντιστοιχούν τρεις αριθμοί ρ, φ, θ και αντίστροφα σε κάθε τρεις αριθμούς ρ, φ, θ αυθαίρετα λαμβανόμενους όπου ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ (2π, υπάρχει ένα μόνο σημείο Ρ του χώρου, στο οποίο οι πολικές σ. είναι ρ, φ, θ. Αν αναγάγουμε το σύστημα των πολικών σ. σε καρτεσιανό με αρχή Ο, έτσι ώστε ο άξονας z να συμπέσει με τον πολικό άξονα και ο θετικός ημιάξονας x να συμπέσει με την κάθετο προς τον άξονα z στο Ο επί του ημιεπιπέδου α, τότε και ο άξονας y παραμένει απόλυτα προσδιορισμένος με την προϋπόθεση ότι οι μετρήσεις στις καρτεσιανές σ. θα γίνουν με την αυτή μονάδα μέτρησης που ισχύει και στις πολικές. Οι τύποι μετάβασης από τις πολικές σ. στις καρτεσιανές είναι: x = ρημφ · συνθ, y = ρημφ · ημθ, z = ρσυνφ. Οι πολικές σ. χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και χρησιμεύουν για τον προσδιορισμό της θέσης ενός αστέρα επί της ουράνιας σφαίρας. Ανάλογα με το σύστημα στο οποίο αναφερόμαστε λαβαίνουν και διαφορετικά ονόματα. Έχουμε τις αζιμουθιακές (βλ. λ. αζιμούθιο) στις οποίες το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τον παρατηρητή είναι κάθετο προς την κατακόρυφο ως προς τον ίδιο παρατηρητή· τις γαλαξιακές σ. (βλ. λ. Γαλαξίας) που έχουν ως επίπεδο αναφοράς το ισημερινό επίπεδο του γαλαξία, ενώ οι ισημερινές σ. το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Ένα άλλο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται στην αστρονομία βασίζεται στο φανταστικό ίχνος που το επίπεδο της τροχιάς της Γης αφήνει επάνω στην ουράνια σφαίρα: οι σ. αυτές ορίζονται ως εκλειπτικές.